Bonjour,
L'employeur peut mandater quelqu'un pour faire la demande d'autorisation de travail à sa place. Il peut s'agir d'un avocat mais je pense que vous pouvez également vous en charger, à condition d'avoir un mandat écrit de l'employeur qui vous y autorise. Il y a également des informations et documents que l'employeur doit vous remettre pour obtenir l'autorisation de travail.
Dans votre cas, la situation de l'emploi n'est pas opposable si votre salaire est 1,5 fois supérieur au SMIC et si l'emploi proposé est en lien avec vos études. Pour le salaire, la condition est remplie (le salaire proposé de 34000€ brut est supérieur à 1,5 fois le SMIC annuel). Il faut vérifier la condition concernant le rapport avec les études.
Ensuite, l'employeur doit payer une taxe lorsque son salarié est admis pour la première fois au séjour au titre de son activité professionnelle (c'est-à-dire lors de la délivrance d'un premier titre de séjour salarié), sauf exceptions tenant à la nature de l'entreprise qui vous embauche (voir notamment article L.436-10 du CESEDA) et ce même ci vous avez toujours été en situation régulière auparavant :
Lorsque l'embauche intervient pour une durée supérieure ou égale à douze mois, le montant de cette taxe est égal à 55 % du salaire brut mensuel versé à ce travailleur étranger, pris en compte dans la limite de 2,5 fois le salaire minimum de croissance brut mensuel.
Enfin, vous pouvez entamer dès maintenant les démarches de changement de statut mais dans la mesure où votre titre de séjour expire dans un moment, vous pouvez effectivement débuter les démarches à l'issue de la période d'essai. En revanche, il est souhaitable que votre employeur demande et obtienne au plus tôt l'autorisation de travail. Il devra vous la remettre pour vos démarches à la préfecture.
J'espère avoir répondu à vos questions.