Bonjour,
Le départ physique de votre mère n'a pas mis fin au bail. Tant qu'aucun congé n'a été délivré et que le préavis n'est pas expiré, le contrat se poursuit et elle reste tenue des loyers. La première démarche consiste donc à notifier le congé prévu à l'article 15 de la loi du 6 juillet 1989, par lettre recommandée avec accusé de réception, acte de commissaire de justice ou remise en main propre contre émargement.
Le préavis est en principe de trois mois. Il peut être réduit à un mois pour raison de santé justifiant un changement de domicile, à condition que le motif soit précisé dans la lettre et justifié par un certificat médical joint au moment de l'envoi (Civ. 3e, 11 avril 2019, n° 18-14.256). Un justificatif produit après coup ne permet pas d'en bénéficier. Notez que la renonciation du bailleur ne se déduit ni de son silence ni de l'encaissement des loyers (Civ. 3e, 14 avril 2015, n° 14-11.064).
Quant à votre frère, sa situation dépend de l'article 14. S'il remplit les conditions du transfert de bail au profit d'un descendant vivant au foyer depuis au moins un an, il devient titulaire du bail. À défaut, il n'est qu'occupant sans droit ni titre, et son occupation, même accompagnée de versements, ne fait pas naître un bail en l'absence d'intention du bailleur (Civ. 3e, 6 juin 2019, n° 18-15.97

. L'expulsion relève alors du propriétaire, devant le juge des contentieux de la protection. L'assistance d'un avocat est vivement recommandée pour cette procédure.
Merci de renseigner la rubrique question résolue.
Cordialement,
Les présentes observations constituent un avis juridique général, formulé sous toutes réserves et au seul vu des éléments portés à notre connaissance. Elles ne sauraient tenir lieu de consultation personnalisée.
Avant toute démarche susceptible d'affecter vos droits, nous vous recommandons de vous rapprocher d'un avocat, qui pourra examiner votre dossier sur pièces et vous délivrer une analyse adaptée à votre situation.
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