Bonjour,
Le seul cas dans lequel votre employeur est dispensé de demander une autorisation de travail est la demande de carte de séjour "talent" (anciennement "passeport talent").
Dans votre cas, si vous sollicitez un changement de statut vers la carte de séjour "salarié",
il est obligatoire de justifier d'une autorisation de travail. La situation de l'emploi n'est effectivement pas opposable, ce qui signifie que votre employeur est dispensé de poster une offre d'emploi auprès de France Travail mais il n'en demeure pas moins qu'une autorisation de travail doit être impérativement délivrée.
C'est une condition indispensable à la délivrance d'une carte de séjour salarié (voir annexe 10 du CESEDA).
Sans cette autorisation, votre dossier sera rejeté.
Ensuite, contrairement à ce qui vous a été indiqué, l'employeur doit bien payer une taxe lorsque son salarié est admis pour la première fois au séjour au titre de son activité professionnelle (c'est-à-dire lors de la délivrance d'un premier titre de séjour salarié), sauf exceptions tenant à la nature de l'entreprise qui vous embauche (voir notamment article L.436-10 du CESEDA) :
Lorsque l'embauche intervient pour une durée supérieure ou égale à douze mois, le montant de cette taxe est égal à 55 % du salaire brut mensuel versé à ce travailleur étranger, pris en compte dans la limite de 2,5 fois le salaire minimum de croissance brut mensuel.