Monsieur,
L'absence d'écrit d'un contrat d'interim est une irrégularité sanctionnée par la requalification du contrat d'interim en CDI, tout comme la poursuite de la relation contractuelle après l'échéance du terme d'un contrat sans conclusion d'un nouveau contrat ou encore en cas de non-respect du délai de carence conventionnel ou légal entre deux contrats.
En principe, un contrat d'interim doit être transmis pour signature dans les 48 heures du début de la mission.
Dans votre cas, je comprends que la mission s'est poursuivie alors qu'aucun renouvellement n'a été signé entre l'entreprise utilisatrice, la société d'interim et vous.
De plus, 3 ans d'embauche en contrat d'interim (dans la même entreprise?), cela me semble long. Il faudrait étudier vos différents contrats pour avoir une vue d'ensemble du dossier.
La requalification se fait par le biais d'une décision judiciaire, si vous êtes encore dans l'entreprise au moment de son prononcé vous resterez en CDI, sinon il sera jugé que votre départ de l'entreprise doit s'analyser a posteori en un licenciement sans cause réelle et sérieuse (ce qui vous donne droit à une indemnité de requalification égale à un mois de salaire, plus une indemnité de licenciement, plus des dommages et intérpets pour licenciement sans cause réelle et sérieuse).
En cas de saisine du CPH, l'affaire est directement portée devant le bureau de jugement (sans conciliation préalable) qui statue en prinicpe dans le délai d'un mois suivant sa saisine (rarement le cas malheureusement) ; la requalification prenant effet, au cas de succession de CDD, au premier jour de la mission irrégulière, soit dans votre cas au plus tard il y a quelques jours.
Cela ne vous donnera pas une ancienneté importante et des dommages et intérêts très limité, d'où l'intérêt d'étudier la relation contractuelle dans son ensemble.
En espérant vous avoir rensigné, merci d'indiquer qu'il a été répondu à la question. Pour le reste, il serait utile de rentre en contact avec un avocat ou la permanence juridique d'une organisation syndicale.